8.5 功、功率、能量

来源： 考纲 §8 · 课堂笔记 §4.5.1–§4.5.3

功

当物体在力 $\overrightarrow{F}$ 作用下沿位移 $\overrightarrow{s}$ 移动时，就做了功（$W$）。它是标量积，取决于力与位移的夹角：

$$W=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{s}=F\cdot s\cdot \cos \alpha$$

符号	含义	单位
$W$	功	J
$\overrightarrow{F}$	力	N
$\overrightarrow{s}$	位移	m
$\alpha$	$\overrightarrow{F}$ 与 $\overrightarrow{s}$ 的夹角	°

单位焦耳：$1\text{J}=1\text{N·m}$。规律：$\overrightarrow{F}\parallel \overrightarrow{s}$（$\cos =1$）时功最大；$\overrightarrow{F}\perp \overrightarrow{s}$（$\cos =0$）时 $W=0$——例如圆周运动中向心力不做功，因为它始终垂直于运动方向。功相同时，$F$ 与 $s$ 可互换——这正是杠杆原理（小力走长路）。

功率

功率（$P$）表示单位时间做多少功：

$$P=\frac{W}{t}$$

单位瓦特：$1\text{W}=1\frac{\text{J}}{\text{s}}$。同样的功用更短时间完成 → 功率更高。千瓦时（kWh）是能量单位，不是功率单位：$1\text{kWh}=1000\text{W}\cdot 3600\text{s}=3,6\cdot {10}^6$ J。电功率：$P=U\cdot I$。

能量

能量（$E$）是做功的能力。做功时能量从一个物体转移到另一个——做功即能量转换。单位也是焦耳。

a) 动能（运动能量）——因速度而具有的能量：

$$E_{\text{kin}}=\frac{1}{2}m{v}^2$$

它是相对的（通过 $v$ 依赖于参考系）。由 $F=ma$、$v=at$、$s=\frac{1}{2}a{t}^2$、$W=Fs$ 推得：$W=ma\cdot \frac{a{t}^2}{2}=\frac{m(at{)}^2}{2}=\frac{m{v}^2}{2}$。

✎ 逐步推导（真题原话要求：„Ableitungen durchführen"）：

1. 思路： $E_{\text{kin}}$ = 把物体从静止加速到速度 $v$ 所需的功。设用恒力 $F$ 加速。
2. 功： $W=F\cdot s$（力与位移平行，见上文）。
3. 代入力（第二定律，§8.3）：$F=m\cdot a$ → $W=m\cdot a\cdot s$。
4. 代入路程（匀加速运动，主题 5）：$s=\frac{1}{2}a{t}^2$ → $W=m\cdot a\cdot \frac{1}{2}a{t}^2=\frac{1}{2}m(at{)}^2$。
5. 认出速度： $v=at$ → $\boxed{{\displaystyle W=\frac{1}{2}m{v}^2=E_{\text{kin}}}}$。

每一步都有理由：① 用加速做的功定义动能,② 功的定义,③ 牛顿第二定律,④+⑤ 匀加速运动学。同法得举升功：$E_{\text{pot}}=W=F\cdot h=mg\cdot h$（恒力抵抗重力,地表附近 $g$ 近似不变）。

b) 势能（位置能量）——因在引力场中的位置而具有的能量（= 所需的举升功）：

$$E_{\text{pot}}=m\cdot g\cdot h\text{（均匀场）}$$

在非均匀场中（航天、大距离）：

$$E_{\text{pot}}=-\frac{G\cdot m_1\cdot m_2}{r}$$

✎ 负号表示被束缚的物体处于势阱中（$E_{\text{pot}}<0$，以无穷远为零点）。

✎ 两个公式怎么衔接？ $mgh$ 是地表附近小高度的近似——那里 $g$ 几乎不变：把物体从 $r$ 举到 $r+h$（$h\ll r$）时，普适公式给出的差值恰为 $\mathrm{\Delta }{E}_{\text{pot}}\approx mgh$。两个公式只是零点选取不同（地面 vs. 无穷远）——物理上可测的本来就只有能量差。

图：关于势能——把质量为 $m$ 的物体用力 $F$ 抵抗重力 $F_G$ 举到高度 $h$；举升功就以 $E_{\text{pot}}$ 储存在物体里。

能量守恒定律

在封闭系统中，总能量守恒。

各种能量形式相互转换，总和不变：$E_{\text{ges}}=E_{\text{kin}}+E_{\text{pot}}+\cdots =\text{常量}$。封闭系统与外界不交换能量；能量永不被创造或消灭，只被转换。

自由落体例： $\frac{1}{2}m{v}^2=mgh\Rightarrow v=\sqrt{2gh}$（质量相消）。

✎ 算例·飞机（66 400 kg，946 km/h ≈ 262.8 m/s，11 867 m 高）：$E_{\text{pot}}=mgh\approx 7,7\cdot {10}^9$ J，$E_{\text{kin}}=\frac{1}{2}m{v}^2\approx 2,3\cdot {10}^9$ J → 势能更大。只有在 $h=v^2/(2g)\approx 3519$ m 时两者才相等。

✎ 真题追问（接上例）： „In welcher Höhe müsste die Maschine bei gleicher Geschwindigkeit fliegen, damit beide Energieformen gleich groß sind?"——令 $mgh=\frac{1}{2}m{v}^2$，$m$ 相消：$h={\displaystyle \frac{v^2}{2g}}={\displaystyle \frac{262,8^2}{2\cdot 9,81}}\approx 3519\text{m}$。哲学弯钩（老师原话）： „Du machst ein Nickerchen an Bord — könntest du spüren, dass beide Energieformen gleich sind? — Natürlich nicht, weil die Systeme gleichberechtigt sind (konstante Geschwindigkeit)."（展开见下方「可供口述讨论」。）

✎ 可供口述讨论： 因为 $E_{\text{kin}}$ 通过 $v$ 依赖于参考系，而所有匀速运动的参考系彼此等价，所以待在平稳飞行的机舱里，你无法通过任何实验察觉动能与势能何时相等——运动本身觉察不到，只有加速度才能被察觉。这与运动的相对性（塔的论证）是同一个洞见：静止与匀速运动从内部无法区分。